染雾等差数列教案 篇一
标题：引入等差数列的概念及其性质
引言：
等差数列作为数学中的一个重要概念，不仅在数学中有广泛的应用，而且在实际生活中也有着重要的意义。本篇教案将介绍等差数列的概念、性质以及相关的例题，以帮助学生更好地理解和掌握等差数列的基本知识。
一、等差数列的概念
1.1 定义
等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数，则等差数列的通项公式可以表示为an = a + (n-1)d。
1.2 等差数列的前n项和
等差数列的前n项和可以表示为Sn = (a + an) * n / 2。
二、等差数列的性质
2.1 求等差数列的公差
已知等差数列的前两项a1和a2，可以通过计算差值d = a2 - a1来求得等差数列的公差。
2.2 求等差数列的首项
已知等差数列的公差d和任意一项an，可以通过计算首项的值a = an - (n-1)d来求得等差数列的首项。
2.3 求等差数列的项数
已知等差数列的首项a，公差d和任意一项an，可以通过计算项数n = (an - a + d) / d来求得等差数列的项数。
三、例题解析
解题过程中，可以通过已知条件利用等差数列的性质来求解。例如，已知等差数列的前两项分别为3和8，求该等差数列的公差和第n项。解答过程中，可以先求得公差d = 8 - 3 = 5，然后利用公式an = a + (n-1)d求得第n项。
四、练习题
为了帮助学生巩固所学知识，本节提供一些练习题，供学生练习。
1. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求该等差数列的第n项。
2. 已知等差数列的前两项分别为4和10，求该等差数列的公差和第n项。
总结：
通过本节课的学习，学生对等差数列的概念、性质以及求解方法有了更深入的理解。希望学生能够通过课后的练习题进一步巩固所学知识，并能够灵活运用等差数列的相关知识来解决实际问题。
等差数列教案 篇二
标题：等差数列的应用及拓展
引言：
等差数列作为数学中的一个重要概念，不仅有着广泛的应用，而且还有一些拓展的应用。本篇教案将介绍等差数列的应用及其在实际问题中的解决方法，以帮助学生更好地理解和掌握等差数列的实际应用。
一、等差数列的应用
1.1 应用于数学题目
等差数列在数学题目中有着广泛的应用，例如在求和问题、数列推导、方程求解等方面都可以运用等差数列的概念和性质进行解答。
1.2 应用于实际生活中
等差数列在实际生活中也有着重要的应用，例如在计算机编程中，可以通过等差数列的概念来解决一些递增或递减的问题；在金融领域中，等差数列可以用来计算投资收益率和贷款利息等。
二、等差数列的拓展
2.1 等差数列的和与乘积
除了前文介绍的等差数列的前n项和之外，我们还可以拓展了解等差数列的前n项乘积。根据等差数列的性质，可以得到等差数列的前n项乘积的公式：Pn = a^n * (a + (n-1)d)^(n-1)。
2.2 等差数列的倒数和
等差数列的倒数和是指等差数列的每一项的倒数之和，可以表示为Sn' = n^2 / (2a + (n-1)d)。
三、例题解析
在解题过程中，可以通过已知条件利用等差数列的应用和拓展知识来求解。例如，在一个等差数列中，已知前两项为2和5，且前n项和为45，求该等差数列的公差、第n项以及前n项乘积。解答过程中，可以先求得公差d = 5 - 2 = 3，然后利用公式an = a + (n-1)d求得第n项，再利用前n项和公式Sn = (a + an) * n / 2求得前n项和，最后利用前n项乘积公式Pn = a^n * (a + (n-1)d)^(n-1)求得前n项乘积。
四、练习题
为了帮助学生巩固所学知识，本节提供一些练习题，供学生练习。
1. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求该等差数列的第n项以及前n项乘积。
2. 已知等差数列的前两项分别为4和10，且前n项和为120，求该等差数列的公差和第n项。
总结：
通过本节课的学习，学生不仅对等差数列的应用有了更深入的理解，而且对等差数列的拓展应用也有了一定的了解。希望学生能够通过课后的练习题进一步巩固所学知识，并能够灵活运用等差数列的相关知识来解决实际问题。
等差数列教案 篇三
2016-09-09 17:48 | #3楼
等 差 数 列
教学目的：
1.要求学生掌握等差数列的概念
2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。
教学重点：
1.要证明数列{an}为等差数列，
2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d (n≥1,且n∈N*).
教学难点：
等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。
教学过程：
一、 引导观察数列：
（1）1 ，3 ， 5 ，7，9，11， ……
（2）3，6，9，12，15，18，……
（3）1，1，1，1，1，1，1，……
（4）3，0，－3，－6，－9，－12，……
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差” 二、 得出等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。
注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。 ．．．．．．．．．．
定义另叙述：在数列{an}中，an1－an=d（n ∈N), d为常数，
则{an}是等差数列，常数d 称为等差数列的公差。
评注：
1、一个数列，不从第2项起，而是从第3 项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，此数列不是等差数列. 如：（1）1，3，4，5，6，……（2）－1，0，12，14，16，18，20，……
2、一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管等,于一个常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，故定义中“同一个常数”中“同一个”十分重要，切记不可丢掉。
3、求公差d时，可d=an—a n－1,,,,也可以用d=a n＋1－an
4、公差d∈R，当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为 递增数列；当d<0时，数列为递减数列。
三、等差数列的通项公式：an=a1＋（n－1）d
问题1：已知等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d，求
a2a1d
a3a2d(a1d)da12d
a4a3d(a12d)da13d 由此归纳为 ana1(n1)d 当n1时 a1a1 （成立）
ana1(n1)d 等差数列的通项公式
问题2：已知等差数列｛an｝中，公差为d，则与ak（n,k ∈N+）有何关系？
答：由等差数列的通项公式知
ana1(n1)d ①
ak=a1＋（k－1）d ②
得，an －ak=（n－k）d
此为等差数列的通项公式的变形公式
四、应用
例1 （1）求等 差数列8，5，2，……的第20项
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，……的项，
如果是，是第几项？
解：（1）由a1=8,d=5－8=－3,n=20,得:
a20=8＋（20－1）×（－3）=－49
（2）由a1=－5,d=－9－（－5）=－4,得:
an =－5＋（n－1）×（－4）即=－4n－1
由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得
若 －401=－4 n－1成立
解这个关于n的方程，得n=100
即－401是这个数列的第100项
例2 在等差数列｛｝中，已知a5=10，a12=31，求首项a1与公差d。
解：由题意可知
a1=－2 a1＋4d=10 解得：a1＋11d=31
即这个等差数列的首项是－2，公差是3。
另解：由an=ak＋（n－k）d,知
a12=a5＋（12－5）d,即10＋7d=31 解得 d=3
∵ a5=a1＋（5－1）d∴ 10=a1＋4×3 解得a1=－2 即这个等差数列的首项是－2，公差是3
例3 梯子的最高一级宽33㎝，最低一 级宽110㎝，中 间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。
解：用｛an｝表示梯子自上而下的各级宽度所成的等差数列 由已知条件，有a1=33,a12=110,n=12 由通项公式，得a12=a1＋（12－1）d 即110=33＋11d, 解得d=7
因此，a2=33＋7=40,a3=40＋7=47,a4=47＋7=54,a5=61,a6=68 a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103
答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40㎝，47㎝， 54㎝，61㎝，68㎝，75㎝，82㎝，89㎝，96㎝，103㎝。 练习1.（1）求等差数列3，7，11，…的第4项与第10。 （2）求等差数列10，8，6，…的第20项。 （3）100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是 第
几项？如果不是，说明理由。 （4）—20是不是等差数列0， 3，—7，…的项？ 如果是，是第几项？如果不是，说明理由。
解 ：（1）由a1=3，d=7－3=4得
a4=3+（4－1）×4=15 a10=3+（10－1）×4=39
（2）由a1=10，d=8－10=－2，得a20=10+（20－1）×（－2）=－28
（3）由a1=2，d=9－2=7，得：=2+（n－1）×7=7n－5
由题意知，7n－5=100 解得n=15即100是这个数列的第15项。
（4）由a1=0，d= 3－0=3
1122777747
由题意知，an= -n+， -n+=20 , 解得n=
22227
1
2
∵n不是正整数,
∴－20不是这个数列的项 2.在等差数列｛an｝中，
（1）已知a4＝10，a7=19，求a1与d； （2）已知a3=9，a9=3，求a12。
解：（1）由题意知
a11=1 a1+6d=19 ∴即这个等差数列的首项为1，公差为3。
（2）设等差数列{}的首项为a1，公差为d，由题意可知：
a1+（3－1）1=11 a1+（9－1d）－1
这个数列的通项公式为an=12－n ∴ a12=12－12=0 另解：由an=am+（n－m）d，得 a9=a3+（9－3）d 3=9+（9－3）d ∴d=－1 ∴ a12=a3+（12－3）d=9+9（－1）=0
3.已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d： （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个 新的数列，这个 新
数列是等差数列吗？如果 是，它的首项和公差分别是多少
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是差
数列吗？如果是， 它的首项和公差分别是多少？
（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，
这个新数列是等差数列吗？ 如果是，它的首项和公差分别是多少？ 解：（1）是. 首项为am+1. 公差为d （2）是. 首项为a1. 公差为2d （3）是.首项为a7.公差为7d 五小结：
本节课首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式a n+1－an =d(n∈N+)。其次，要会推导等差数列的通项公式：an=a1＋(n－1)d(n≥1)，并掌握 其基本应用。最后，还要注意一重要关系式：an=am＋(n－m)d的理解与应用。 六作业：
1． 认真阅读教材， 2． P40习题2·2 1。（1）（3）
等 差 数 列
张 海 青
义 马 市 第 二 高 级 中二 0 0九 年 十 一 月
学
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课例设计附后
等差数列教案 篇四
2016-09-09 21:39 | #4楼
课 题：2.2 等差数列（一）
教学目的：
1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；
2．会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题
教学重点：等差数
列的概念，等差数列的通项公式
教学难点：等差数列的性质
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线教学过程：
一、复习引入：
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n项和公式..看这样一些例子:
2. 小明目前会100个单词，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92 ①
3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，15，25，35，45 ②
请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课：
通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。
(二) 新课探究
1、由引入自然的给出等差数列的概念：
如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件；
②公差d一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
an+1-an=d (n≥1)
同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
1. 9 ，8，7，6，5，4，；√ d=-1
2. 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74；√ d=0.01
3. 0，0，0，0，0，0，.; √ d=0
4. 1，2，3，2，3，4，；×
5. 1，0，1，0，1，×
其中第一个数列公差<0, 第二个数列公差>0,第三个数列公差=0
由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0
2、第二个重点部分为等差数列的通项公式
在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,
则据其定义可得：
a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d
猜想: a40 = a1 +39d
进而归纳出等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
三、例题讲解
例1 ⑴求等差数列8，5，2的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？
解：⑴由a18,d58253
n=20，得a208(201)(3)49
⑵由a15,d9(5)4
得数列通项公式为：an54(n1)
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列an中，已知a510，a1231，求a1,d,a20,an
解法一：∵a510，a1231，则
a12a14d10 ∴ana1(n1)d3n5 d3a111d31
a20a119d55
解法二：∵a12a57d31107dd3
∴a20a128d55 ana12(n12)d3n小结：第二通项公式 anam(nm)d
例3 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等解：设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，
由已知条件，可知：a1=33, a12=110，n=12
∴a12a1(121)d,即10=33+11d 解得：d7
因此，a233740,a340747,a454,a561,
a668,a775,a882,a989,a1096,a11103,
答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
例4 已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n解：当n≥2时, （取数列an中的任意相邻两项an1与an（n≥2））
anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p为常数
∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
nn式
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3四、练习：
1.（1）求等差数列3，7，11，的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.
∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*）
∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，的第20项.
解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,
∴a20=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.
解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.
∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.
令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.
1，－7，的项？如果是，是第几项？如果不是， 2
177说明理由. 解：由题意可知：a1=0,d=－3 ∴此数列的通项公式为：an=－n+, 222
7747令－n+=－20,解得n= 227
77因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项. 22（4）－20是不是等差数列0，－3
2.在等差数列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1与d;
3912a13d10a11解：（1）由题意得：, 解之得：. a6d19d31
a12d9a111（2）解法一：由题意可得：, 解之得 d1a8d31
∴该数列的通项公式为：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1
又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0.
Ⅳ.课时小结
五、小结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－
（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，an1=d ，
并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(nm)d和an=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：
