染雾初三数学教案正切和余切 篇一
初三数学教案正切和余切
在初中数学中，正切和余切是两个重要的三角函数。理解和掌握正切和余切的概念和性质对于学生深入学习三角函数和解决实际问题非常重要。本节课将重点介绍正切和余切的定义、计算方法以及它们在几何图形中的应用。
一、正切和余切的定义和计算方法
1. 正切的定义和计算方法
正切是指一个角的正弦值除以它的余弦值。在直角三角形中，如果一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b，那么这个角的正切等于直角边长之比，即tanθ=a/b。
2. 余切的定义和计算方法
余切是指一个角的余弦值除以它的正弦值。在直角三角形中，如果一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b，那么这个角的余切等于直角边长之比，即cotθ=b/a。
二、正切和余切的性质
1. 正切的性质
（1）对于同一个角θ，tanθ=tan(θ±nπ)，其中n为整数。
（2）对于同一个角θ，tan(π/2-θ)=1/tanθ。
（3）tan(θ±π)=±tanθ。
2. 余切的性质
（1）对于同一个角θ，cotθ=cot(θ±nπ)，其中n为整数。
（2）对于同一个角θ，cot(π/2-θ)=1/cotθ。
（3）cot(θ±π)=±cotθ。
三、正切和余切在几何图形中的应用
正切和余切在几何图形中有着广泛的应用。下面以一个实际问题为例，介绍正切和余切的应用。
例题：已知一个矩形的长为10cm，宽为6cm，求矩形对角线与长的夹角的正切和余切。
解析：设矩形对角线与长的夹角为θ，根据勾股定理可得对角线的长度为d=√(102+62)=√136。
则正切θ=tanθ=长/对角线=10/√136。
余切θ=cotθ=对角线/长=√136/10。
通过计算可得正切θ≈0.77，余切θ≈1.30。
通过这个例题，我们可以看到正切和余切在几何图形中的应用，可以帮助我们计算出角的具体数值，解决实际问题。
总结：正切和余切是初中数学中的重要概念，掌握它们的定义和计算方法，了解它们的性质以及在几何图形中的应用，对于学生深入理解三角函数和解决实际问题非常有帮助。在教学中，我们可以通过实例讲解和练习题的讲解来帮助学生掌握正切和余切的知识和技巧，提高他们的数学能力和解决问题的能力。通过不断的练习和巩固，学生可以逐渐掌握正切和余切的运用，为学习高中数学打下坚实的基础。
初三数学教案正切和余切 篇二
初三数学教案正切和余切
在初中数学课程中，正切和余切是两个重要的三角函数。理解和掌握正切和余切的概念和性质对于学生深入学习三角函数和解决实际问题非常重要。本节课将重点介绍正切和余切的定义、计算方法以及它们在几何图形中的应用。
一、正切和余切的定义和计算方法
1. 正切的定义和计算方法
正切是指一个角的正弦值除以它的余弦值。在直角三角形中，如果一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b，那么这个角的正切等于直角边长之比，即tanθ=a/b。
2. 余切的定义和计算方法
余切是指一个角的余弦值除以它的正弦值。在直角三角形中，如果一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b，那么这个角的余切等于直角边长之比，即cotθ=b/a。
二、正切和余切的性质
1. 正切的性质
（1）对于同一个角θ，tanθ=tan(θ±nπ)，其中n为整数。
（2）对于同一个角θ，tan(π/2-θ)=1/tanθ。
（3）tan(θ±π)=±tanθ。
2. 余切的性质
（1）对于同一个角θ，cotθ=cot(θ±nπ)，其中n为整数。
（2）对于同一个角θ，cot(π/2-θ)=1/cotθ。
（3）cot(θ±π)=±cotθ。
三、正切和余切在几何图形中的应用
正切和余切在几何图形中有着广泛的应用。下面以一个实际问题为例，介绍正切和余切的应用。
例题：已知一个矩形的长为10cm，宽为6cm，求矩形对角线与长的夹角的正切和余切。
解析：设矩形对角线与长的夹角为θ，根据勾股定理可得对角线的长度为d=√(102+62)=√136。
则正切θ=tanθ=长/对角线=10/√136。
余切θ=cotθ=对角线/长=√136/10。
通过计算可得正切θ≈0.77，余切θ≈1.30。
通过这个例题，我们可以看到正切和余切在几何图形中的应用，可以帮助我们计算出角的具体数值，解决实际问题。
总结：正切和余切是初中数学中的重要概念，掌握它们的定义和计算方法，了解它们的性质以及在几何图形中的应用，对于学生深入理解三角函数和解决实际问题非常有帮助。在教学中，我们应该注重引导学生理解概念，掌握计算方法，并通过实际问题的训练来提高他们的解决问题的能力。通过不断的实践和巩固，学生可以逐渐掌握正切和余切的运用，为学习高中数学打下坚实的基础。
初三数学教案正切和余切 篇三
初三数学教案正切和余切
初三数学教案 正切和余切
一、教学目标
1.使学生了解正切、余切的概念,能够正确地用 、 表示直角三角形(其中一个锐角为 )中两边的比,了解 与 成倒数关系,熟记30、45、60角的各个三角函数值,会计算含有这三个非凡锐角的三角函数值的式子,会由一个非凡锐角的三角函数值说出这个角的度数,了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系。
2.逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。
3.培养学生独立思考、勇于创新的精神。
二、学法引导
1.教学方法:运用类比法指导学生探索研究新知。
2.学生学法:运用类比法主动探索研究新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点:了解正切、余切的概念,熟记非凡角的正切值和余切值。
2.难点:了解正切和余切的概念。
3.疑点:正切与余切概念的混淆.
4.解决办法:通过类比引出概念和性质,再通过大量直接应用,巩固概念和性质。
四、教具预备
投影机、投影片(自制)、三角板
五、教学步骤
(一)明确目标
1.什么是锐角 的正弦、余弦?(结合下图回答)。
2.填表
3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系?
4.当角度在0~90变化时,锐角的正弦值、余弦值有何变化规律?
5.我们已经把握一个锐角的正弦(余弦)是指直角三角形中该锐角的对边(邻边)与斜边的比值,那么直角三角形中,两直角边的比值与锐角的关系如何呢?在锐角三角函数中,除正、余弦外,还有其他一些三角函数,本节课我们学习正切和余切。
(二)整体感知
正切、余切的概念,也是本间的重点和关键,是全章知识的基础,对学生今后的学习或工作都十分重要,教材在继第一节正弦和余弦后,又以同样的顺序安排第二节正切余切,像这样,把概论、计算和应用分成两块,每块自与一个整体小循环,第二循环又包含了第一循环的内容,可以有效地克服难点,同时也使学生通过对比,便于把握锐角三角函数的有关知识。
(三)教学过程
1.引入正切、余切概念
①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系,因此同学们首先应思考:当锐角固定时,两直角边的比值是否也固定?
因为学生在研究过正弦、余弦概念之后,已经接触过这类问题,所以大部分学生能口述证实,并进一步猜测两直角边的比值一定是正切和余切。
②给出正切、余切概念。
如图,在 中,把 的对边与邻边的比叫做 的正切,记作 。
即
并把 的邻边与对边的比叫做 的余切,记作 ,
即
2. 与 的关系
请学生观察 与 的表达式,得结论 (或 , )这个关系式既重要又易于把握,必须让学生深刻理解,并与 区别开.
3.锐角三角函数
由上图, , , , ,把锐角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的锐角三角函数。
锐角三角函数概念的给出,使学生茅塞顿开,初步理解本节题目。
问:锐角三角函数能否为负数?
学生回答这个问题很轻易。
4.非凡角的三角函数。
①教师出示幻灯片
请同学推算30、45、60角的正切、余切值。(如下图)
;
;
;
;
;
.
通过学生计算完成表格的过程,不仅复习巩固了正切、余切概念,而且使学生熟记非凡角的正切值与余切值,同时渗透了数形结合的数学思想。
0,90正切值与余切值可引导学生查正切和余切表,学生完全能独立查出。
5.根据互为余角的正弦值与余弦值的关系,结合图形,引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系。
结论:任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
即 , .
练习:1)请学生回答 与 的.值各是多少? 与 ? 与 呢?学生口答之后,还可以为程度较高的学生设置问题: 与 有何关系?为什么? 与 呢?
2)把下列正切或余切改写成余角的余切或正切:
(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) 。
6.例题
例1求下列各式的值:
(1) ;
(2) .
解:(1)
;
(2)
=2.
练习1.求下列各式的值:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
2.填空:
(1)
(2)若 ,则锐角
(3)若 ,则锐角
学生的计算能力可能不很强,尤其是分式,二次根式的运算,因此这里应查缺补漏,以培养学生运算能力。
(四)总结扩展
结合 及 ,可扩展为 .
六、布置作业
1.看教材P12~P14,培养学生看书习惯。
2.教材P16中习题6.2A组2、3、4、5、6.
七、板书设计
第二课时
一、教学目标
1.巩固正、余切概念,学会用正、余切来解决问题.
2.通过例题教学,培养学生分析问题、解决问题的能力; 通过归纳、概括,培养学生逻辑思维能力。
3.培养学生独立思考、勇于创新的精神及良好的学习习惯。
二、学法引导
1.教学方法:指导探索研究法。
2.学生学法:主动探索研究法。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点:用正、余切解直角三角形。
2.难点:灵活运用正切、余切。
3.疑点:学生可能对正切、余切概念把握不牢,导致出现 之类的错误,教学中应引起重视,使学生熟能生巧。
4.解决办法:通过教师精心引导,学生积极思维,主动研究发现,及练习巩固解决重难点及疑点。
四、教具预备
投影机(或电脑)、自制投影片(或课件)、三角板
五、教学步骤
(一)明确目标
结合图,说出什么是 的正切、余切?
请班级里较差学生回答,以检测其把握情况.
2. 与 具有什么关系?
答: (或 或 ).
3.互为余角的正切值与余切值具有什么关系?
答: ,
3.互为余角的正切值与余切值具有什么关系?
答: ,
4.在0~90间,正切、余切值随角度变化而变化的规律是什么?
通过以上四个问题,使学生对新学的知识有了系统的熟悉,便于应用.
对概念的巩固最好的途径是配备练习题.因此,教师在引导学生复习有关概念后,应出示练习题(投影片).
1.在 中, 为直角, 、 、 所对的边分别为 。
①若 , ,则 , , ,
②若 ,则
2.比较大小:
① ②
③ ④
3.计算题:
① ;
② .
(二)整体感知
本课安排在本小节末,运用本小节的知识去解决一个简单问题,再次为本章第二节解直角三角形做好预备.当然,这个问题只用上一小节学过的正弦、余弦也可以解决,不过那样做,就要先求出斜边 ,解的过程要繁琐一些。
(三)教学过程
1.讲授新课
例在 中, 为直角, 所对的边分别是 ,已知 , ,求 (保留两位有效数字).
这个题是本大节知识的综合运用,考查知识点面面俱到,是检查全体学生是否全面达到教学目标要求有效途径,教学中应引导学生全体参与,积极地探求各种解法,然后加以比较,优选出最佳方法,以培养学生思维的灵敏性、深刻性,形成良好的思维品质。
分析:本题已知 和 ,求 ,观察图不难发现,边 恰好是 的对边与邻邦边,因此求 可选用以下两个关系式:(1) ,(2) .
请学生比较一下,哪一个关系计算更简便呢?答:若选用 ,由此得 ,用 除以含四位有效数字的数,计算比较麻烦;而选用 ,由此得 .用 乘以含四位有效数字的数,计算相对方便.
解: ,
解完例题之后,应引导学生小结:本题显示了除法与乘法在一定条件下可以互相转化,其中条件是 与 互为倒数.认真分析和利用这种转化,有时可使计算简便.
2.巩固练习
本节课实际上是对前面课的综合,通过对前面知识的综合运用,以培养学生的比较、分析、概括等逻辑思维能力.因此例题后应安排练习题如下:
在 中, 为直角, 、 、 所对的边分别为 .
(1)已知 , ,求 和 .
(2)已知 , ,求 和 .
(3)已知 , ,求 .
(4)已知 , ,求 .
(5)已知 , ,求 .
(6)已知 , ,求 和 (保留两位有效数字).
教法说明:给学生足够的时间,引导学生讨论、研究,筛选出最佳关系式使计算简便,既培养学生计算能力,巩固所学知识,又能培养学生的思维能力.
[参考答案](1) , ;(2) , ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) , .
3.对学有余力的学生,可引导其读教材P15想一想.使学生对正弦、余弦间的关系,正切、余切间的关系以及弦、切间的关系有所了解,保证知识的完整性,为高中三角函数的学习打下基础.教师板书
.
(四)总结、扩展
引导学生总结:1.要认真分析直角三角形中的各边与角的三角函数关系.2.因为同一个角的正切和余切可以互相转化,所以在选用关系时昼选择乘法使计算较简便.
六、布置作业
1.看教材P1~P17,培养学生看书习惯。
2.教材P17习题A组7、8,学有余力的学生可选做B组题。
