染雾高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点整理 篇一
点线面是几何学中重要的概念，它们之间的位置关系是我们在学习几何学时需要掌握的基础知识。本文将对高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点进行整理，帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
一、点和线的位置关系
1. 点在线上：如果一个点在一条直线上，那么我们可以说这个点在线上。点在线上的充分必要条件是它满足这条直线的方程。
2. 点在线段上：如果一个点在一条线段上，那么我们可以说这个点在线段上。点在线段上的充分必要条件是它的坐标满足这条线段的方程，并且它的坐标在这条线段的两个端点的坐标之间。
二、点和面的位置关系
1. 点在平面上：如果一个点在一个平面上，那么我们可以说这个点在平面上。点在平面上的充分必要条件是它满足这个平面的方程。
2. 点在平面内部：如果一个点在一个平面内部，那么我们可以说这个点在平面内部。点在平面内部的充分必要条件是它的坐标满足这个平面的方程，并且它的坐标满足平面的不等式。
三、线和面的位置关系
1. 线在平面上：如果一条直线在一个平面上，那么我们可以说这条直线在平面上。线在平面上的充分必要条件是它的方程同时满足这个平面的方程。
2. 线和平面相交：如果一条直线和一个平面有交点，那么我们可以说这条直线和这个平面相交。线和平面相交的充分必要条件是直线的方程和平面的方程有解。
以上是高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点的整理，希望能够对同学们的学习有所帮助。通过掌握这些知识，同学们将能够更加准确地描述和分析点线面之间的位置关系，为解决几何学中的问题奠定坚实的基础。
高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点整理 篇二
点线面是几何学中的基础概念，它们之间的位置关系是我们在学习几何学时需要掌握的重要知识。本文将对高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点进行整理，帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
一、点和线的位置关系
1. 点在线上：当一个点满足直线的方程时，我们可以说这个点在线上。
2. 点在线段上：当一个点的坐标满足线段的方程，并且在线段的两个端点的坐标之间时，我们可以说这个点在线段上。
二、点和面的位置关系
1. 点在平面上：当一个点满足平面的方程时，我们可以说这个点在平面上。
2. 点在平面内部：当一个点的坐标满足平面的方程，并且满足平面的不等式时，我们可以说这个点在平面内部。
三、线和面的位置关系
1. 线在平面上：当一个直线的方程同时满足平面的方程时，我们可以说这条直线在平面上。
2. 线和平面相交：当直线的方程和平面的方程有解时，我们可以说这条直线和这个平面相交。
通过掌握这些点线面之间的位置关系的知识，我们可以更加准确地描述和分析几何学中的问题。在解决几何学问题的过程中，我们可以根据点线面之间的位置关系，来推导出一些重要的结论，从而解决问题。
总之，高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点的整理对同学们的学习非常重要。希望同学们能够通过学习这些知识，掌握点线面之间的位置关系，提高解决几何学问题的能力。
高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点整理 篇三
高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点整理
上学的时候，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。那么，都有哪些知识点呢？下面是小编为大家整理的高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点整理，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
1、直线在平面内的判定
（1）利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内。
（2）若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β，A∈α，AB⊥β，则ABα。
（3）过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a，a⊥b，A∈α，b⊥α，则aα。
（4）过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a，a∥α，则aβ。
（5）如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α，A∈α，A∈b，b∥a，则bα。
2、存在性和唯一性定理
（1）过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；
（2）过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；
（3）过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；
（4）与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；
（5）过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；
（6）过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；
（7）过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；
（8）过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个。
3、射影及有关性质
（1）点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点。
（2）直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影。和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线。
（3）图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影。
当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；
当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形。
（4）射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
（i）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
（ii）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
（iii）垂线段比任何一条斜线段都短。
4、空间中的各种角
等角定理及其推论
定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等。
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
异面直线所成的角
（1）定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，则a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
（2）取值范围：0°<θ≤90°。
（3）求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；
②解含有θ的三角形，求出角θ的'大小。
5、直线和平面所成的角
（1）定义和平面所成的角有三种：
（i）垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
（ii）垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。
（iii）一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角。
（2）取值范围0°≤θ≤90°
（3）求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ。
②解含θ的三角形，求出其大小。
③最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角。
6、二面角及二面角的平面角
（1）半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面。
（2）二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成。
若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角。
二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°<θ≤180°
（3）二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角。
如图，∠PCD是二面角α—AB—β的平面角。平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关。
②二面
（i）二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD。
（ii）从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上。
（iii）二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β。
③找（或作）二面角的平面角的主要方法。
（i）定义法
（ii）垂面法
（iii）三垂线法
（Ⅳ）根据特殊图形的性质
（4）求二面角大小的常见方法
①先找（或作）出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值。
②利用面积射影定理
S′=S·csα
其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小。
③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小。
7、空间的各种距离
点到平面的距离
（1）定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。
（2）求点面距离常用的方法：
1）直接利用定义求
①找到（或作出）表示距离的线段；
②抓住线段（所求距离）所在三角形解之。
2）利用两平面互相垂直的性质。即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离。
3）体积法其步骤是：
①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；
②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；
③由V=S·h，求出h即为所求。这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离。难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算。
4）转化法将点到平面的距离转化为（平行）直线与平面的距离来求。
8、直线和平面的距离
（1）定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离。
（2）求线面距离常用的方法
①直接利用定义求证（或连或作）某线段为距离，然后通过解三角形计算之。
②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之。
③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离。
9、平行平面的距离
（1）定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线。公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离。
（2）求平行平面距离常用的方法
①直接利用定义求证（或连或作）某线段为距离，然后通过解三角形计算之。
②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线（面）距离，通过解三角形或体积法求解之。
10、异面直线的距离
（1）定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离。
任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段。
（2）求两条异面直线的距离常用的方法
①定义法 题目所给的条件，找出（或作出）两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长。
此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形。
②转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离
③等体积法
④最值法
⑤射影法
⑥公式法
