闭区间最大值最小值定理证明【最新3篇】

闭区间最大值最小值定理证明 篇一

闭区间最大值最小值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了连续函数在闭区间上的性质。在这篇文章中，我们将通过证明来理解闭区间最大值最小值定理的原理和应用。

首先，我们来回顾一下闭区间最大值最小值定理的表述。闭区间最大值最小值定理又称为费尔马定理，它指出如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数f(x)在闭区间[a, b]上必然存在最大值和最小值。

为了证明闭区间最大值最小值定理，我们将通过以下步骤进行证明：

步骤一：首先，我们需要证明函数f(x)在闭区间[a, b]上存在极大值。假设f(x)在闭区间[a, b]上没有极大值，即对于任意的x∈[a, b]，都有f(x)

步骤二：接下来，我们需要证明函数f(x)在闭区间[a, b]上存在极小值。假设f(x)在闭区间[a, b]上没有极小值，即对于任意的x∈[a, b]，都有f(x)>m，其中m为常数。根据闭区间[a, b]的有界性，我们可以找到一个数d∈[a, b]，使得f(d)达到最小值m。然而，这与我们的假设矛盾，因此假设不成立，即函数f(x)在闭区间[a, b]上存在极小值。

通过以上证明，我们可以得出闭区间最大值最小值定理的结论：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数f(x)在闭区间[a, b]上必然存在最大值和最小值。

闭区间最大值最小值定理在微积分中具有重要的应用价值。它不仅在求解最优化问题中起到了关键作用，还为我们理解连续函数的性质提供了重要的工具。通过闭区间最大值最小值定理，我们可以确定函数在给定区间上的极值点，从而帮助我们进行更精确的计算和分析。

总结起来，闭区间最大值最小值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了连续函数在闭区间上的性质。通过证明，我们可以得出闭区间最大值最小值定理的结论，从而应用于实际问题中。闭区间最大值最小值定理为我们理解连续函数的性质提供了重要的工具，也为最优化问题的求解提供了关键的方法。闭区间最大值最小值定理的应用范围广泛，是微积分学习中不可或缺的一部分。

闭区间最大值最小值定理证明 篇二

闭区间最大值最小值定理是微积分中一个重要的定理，它在实际问题中具有广泛的应用。在本篇文章中，我们将通过实例来说明闭区间最大值最小值定理的应用，以帮助读者更好地理解和应用该定理。

假设我们要找到一个函数f(x)在闭区间[0, 1]上的最大值和最小值。首先，我们需要判断函数f(x)是否在闭区间[0, 1]上连续。如果函数f(x)在闭区间[0, 1]上连续，那么根据闭区间最大值最小值定理，我们可以确信函数f(x)在闭区间[0, 1]上存在最大值和最小值。

接下来，我们需要找到函数f(x)在闭区间[0, 1]上的极值点。为了找到极值点，我们可以先求函数f(x)的导数f'(x)，然后令f'(x)等于零，求解方程f'(x)=0，得到函数f(x)的极值点。假设我们求解得到的极值点为x0。

在闭区间[0, 1]上，我们需要比较函数f(x)在x=0、x=1和x=x0处的函数值。通过比较这些函数值，我们可以确定函数f(x)在闭区间[0, 1]上的最大值和最小值。具体地，如果函数f(x)在x=0处的函数值大于函数f(x)在x=1和x=x0处的函数值，那么函数f(x)在闭区间[0, 1]上的最大值就是函数f(x)在x=0处的函数值；如果函数f(x)在x=0处的函数值小于函数f(x)在x=1和x=x0处的函数值，那么函数f(x)在闭区间[0, 1]上的最大值就是函数f(x)在x=1和x=x0处的函数值。同样地，我们可以通过比较函数f(x)在x=0、x=1和x=x0处的函数值来确定函数f(x)在闭区间[0, 1]上的最小值。

通过以上的分析和计算，我们可以得出函数f(x)在闭区间[0, 1]上的最大值和最小值。这个例子说明了闭区间最大值最小值定理在实际问题中的应用价值。通过应用闭区间最大值最小值定理，我们可以确定函数在给定区间上的最大值和最小值，从而帮助我们进行更准确的计算和分析。

总结起来，闭区间最大值最小值定理是微积分中的一个重要定理，它在实际问题中具有广泛的应用。通过实例的分析，我们可以看到闭区间最大值最小值定理在确定函数在给定区间上的最大值和最小值时的重要作用。通过应用闭区间最大值最小值定理，我们可以解决各种实际问题，提高问题的求解精度和效率。闭区间最大值最小值定理的应用范围广泛，是微积分学习中不可或缺的一部分。

闭区间最大值最小值定理证明 篇三

闭区间最大值最小值定理证明

　　闭区间的最大值最小值的问题相信一直是同学们比较困扰的一个知识点，不用担心，小编就让为你详细介绍及通过案例的介绍，一定能够充分认识并熟练运用的。

　　闭区间介绍

　　直线上介于固定的两点间的所有点的 集合(包含给定的两点)。 闭区间是直线上的 连通的 闭集。由于它是 有界闭集，所以它是 紧致的。

　　闭区间的函数为 小于等于的关系　即 —∞≤a≤+∞　在数轴上为实心点。

　　闭区间的 余集(就是 补集)是两个 开区间的 并集。

　　实数理论中有著名的 闭区间套定理。

　　代表符号：

　　[x,y] --> 从x值开始到y值，包含x、y

　　比如：x的取值范围是 3到5的闭区间 那么用数学语言表示即为 [3,5] 也就是从3(含)到5(含)之间的数。

　　最大值最小值定理证明

　　对于在区间上有定义的函数，如果有，使得对于任一都有则称是函数在区间上的最大(小)值.

　　例如:

　　定理1(最大值和最小值定理)：在闭区间上连续的`函数一定有最大值和最小值.

　　定理表明：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使是闭区间上的最小值;又至少存在一点，使在闭区间上的最大值

　　注：当定理中的“闭区间上连续”的条件不满足是，定理的结论可能不成立.

　　如，若是开区间内的连续函数，结论可能不成立.

　　又如，函数 在开区间内没有最大值，因为它在闭区间上不连续.

　　若在上有间断点，结论不一定成立.

　　函数在闭区间上有间断点，但函数在闭区间上既无最大值又无最小值.

　　案例过程讲解

　　证明：设函数f在闭区间[a，b]

　　则必存在x*，x*∈[a，b]，使得f(x*)=M，f(x*)=m.

　　也就是说，有界闭区间上的连续函数必能取到它在这个区间上的最大值和最小值.

　　现证明如下

　　因为函数f在闭区间[a，b]上连续，

　　所以函数f在闭区间[a，b]上有界，

　　即数集{f(x)：x∈[a，b]}有界，

　　利用确界原理，{f(x)：x∈[a，b]}存在上确界和下确界，m和M都是有限数.

　　显然m≤f(x)≤M(∀x∈[a，b])，　考察上确界M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}，

　　根据上确界的定义，

　　对任意n∈N*，

　　必定存在xn∈[a，b]，使得

　　M−1n

　　由于a≤xn≤b，{xn}有界，

　　根据列紧性定理，存在一个子列{xnk}和一点x*∈[a，b]，使得{xnk}，

　　由于f在x*处连续，所以有imk→∞f(xnk)=f(x∗)，(存在且有限)

　　在不等式M−1nk<(xnk)≤M的两端让k→∞，得出M≤f(x*)≤M

　　故存在x*∈[a，b]，使得 f(x*)=M.

　　同理可证存在x*∈[a，b]，使得f(x*)=m.

　　什么是极值定理

　　已知x、y都是正数,x+y=S,xy=P。 (1)如果S是定值,那么当x=y时,P的值最大; (2)如果P是定值,那么当x=y时,S的值最小。 这是众所周知的极值定理。

　　设函数f(x)在x0附近的连续，则除x0以外函数f(x)可导，那么:

　　<1>:若点x0左边f(x)'>0,在x0右边f(x)'<0,则x0点为f(x)的一个极大值点

　　<2>:若在x0点左边f(x)'<0,在x0右边f(x)'>0,则x0为f(x)的一个极小值点

　　<3>:若在x0点的两边的导数f(x)'的正负号相同,则x0不是f(x)的极值点

　　函数的极值不仅是反映函数性态的一个重要特征，而且在解决实际问题中也占有极其重要的地位。很多经济和生活中的问题都可以转化为数学中的函数极值问题进行讨论，从而得到该问题的最优方案。