染雾实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明 篇一
实数基本定理是实分析中的重要定理，它是关于实数连续性的一个基本结论。在闭区间上，连续函数具备一些重要的性质。
首先，我们来介绍一下实数基本定理。实数基本定理又被称为柯西收敛准则，它表明任何一个实数列，如果它是收敛的，那么它一定是柯西收敛的。柯西收敛的定义是：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n，m大于N时，|x_n - x_m| < ε。这个定理的证明需要用到实数的完备性，即实数集上的有界性和单调性。
接下来，我们来看闭区间上连续函数的一些性质。首先是闭区间上连续函数的有界性。闭区间上的连续函数在该区间上是有界的，即存在常数M，使得对于任意的x在闭区间上，|f(x)| ≤ M。这个性质的证明可以利用闭区间上的连续函数的最大最小值定理。
其次是闭区间上连续函数的一致连续性。闭区间上的连续函数是一致连续的，即对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当|x - y| < δ时，有|f(x) - f(y)| < ε。这个性质的证明可以利用闭区间上连续函数的局部连续性和分割法。
最后是闭区间上连续函数的零点存在性。闭区间上的连续函数如果在区间的两个端点上取不同的函数值，那么它在该区间上一定存在至少一个零点。这个性质的证明可以利用闭区间上连续函数的介值定理。
综上所述，实数基本定理是实分析中关于实数连续性的一个基本结论。在闭区间上，连续函数具备有界性、一致连续性和零点存在性等重要性质。这些性质的证明可以利用实数基本定理和闭区间上连续函数的最大最小值定理、局部连续性和介值定理等。
实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明 篇三
实数基本定理及闭区间上连续函数性质证明
§1. 关于实数的基本定理
一 子列 定义1 在数列 EMBED Equation.DSMT4 中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为 EMBED Equation.DSMT4 的子列，记为 EMBED Equation.DSMT4 。 子列的极限和原数列的'极限的关系
定理1 EMBED Equation.DSMT4 若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的任何子列 EMBED Equation.DSMT4 都收敛，并且它的极限也等于 EMBED Equation.DSMT4 。
注：该定理可用来判别 EMBED Equation.DSMT4 不收敛。 例：证明 EMBED Eq
推论：若对任何 EMBED Equation.DSMT4 ： EMBED Equation.DSMT4 都有 EMBED Equation.DSMT4 收敛，则 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 的极限存在。
二 上确界和下确界 上确界的定义，下确界的定义
定理2 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。
定理3 单调有界数列必收敛.
三 区间套定理 区间套: 设 EMBED Equation.DSMT4 是一闭区间序列. 若满足条件
ⅰ> 对 EMBED Equation.DSMT4 , 有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ;
ⅱ> EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .
则称该闭区间序列为为区间套 .
注：区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.( 都不是).
例： EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 都是区间套.但 EMBED Equation.DSMT4
定理4设 EMBED Equation.DSMT4 是一闭区间套. 则存在唯一的点 EMBED Equation.DSMT4 属于所有的区间。
注：区间套中的任何一个条件去掉，定理一般将不成立。
四 致密性定理
定理5 任一有界数列必有收敛子列。
推论 若 EMBED Equation.DSMT4 是一个无界数列，则存在子列 EMBED Equation.DSMT4 。
五 Cauchy收敛原理
定理6 数列 EMBED Equation.DSMT4 收敛 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 当 EMBED Equation.DSMT4 时，有 EMBED Equation.DSMT4 。
注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发散。
例：设 EMBED Equation.DSMT4 ，证明 EMBED Equation.DSMT4 发散。
例：设 EMBED Equation.DSMT4 ，证明 EMBED Equation.DSMT4 收敛。
六 有限覆盖定理 复盖: 先介绍区间族 EMBED Equation.DSMT4 .
定义 (复盖 )：设 EMBED Equation.DSMT4 是一个数集, EMBED Equation.DSMT4 是区间族.若对 EMBED Equation.DSMT4 使得 EMBED Equation.DSMT4 , 则称区间族 EMBED Equation.DSMT4 复盖了 EMBED Equation.DSMT4 , 或称区间族 EMBED Equation.DSMT4 是数集 EMBED Equation.DSMT4 的一个复盖. 记为 EMBED Equation.DSMT4 若每个 EMBED Equation.DSMT4 都是开区间，则称区间族 EMBED Equation.DSMT4 是开区间族.开区间族常记为 EMBED Equation.DSMT4 .
定义 (开复盖 )：数集 EMBED Equation.DSMT4 的一个开区间族复盖称为 EMBED Equation.DSMT4 的一个开复盖,简称为 EMBED Equation.DSMT4 的一个复盖.
子复盖、有限复盖、有限子复盖.
例： EMBED Equation.DSMT4 复盖了区间 EMBED Equation.DSMT4 , 但不能复盖 EMBED Equation.DSMT4 。
定理7 闭区间 EMBED Equation.DSMT4 的任一开复盖必有有限子复盖。
注：在定理的条件中，若 EMBED Equation.DSMT4 不是开区间集，或 EMBED Equation.DSMT4 为非闭区间，则从 EMBED Equation.DSMT4 中就不一定能选出有限个区间来覆盖。
§2闭区间上连续函数性质的证明
一 有界性定理 定理1 闭区间 EMBED Equation.DSMT4 上的连续函数必定有界。
注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。
二 最大值和最小值定理 定理2 闭区间 EMBED Equation.DSMT4 上的连续函数必定有最大值和最小值。
三 零点存在定理 定理3 EMBED Equation.DSMT4 在闭区间 EMBED Equation.DSMT4 连续，且 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 内至少有一个根。
证法一(用区间套定理); 证法二(用确界原理); 证法三 (用有限复盖定理)。
四 一致连续性定理 定理4 闭区间 EMBED Equation.DSMT4 上的连续函数 EMBED Equation.DSMT4 必定一致连续。
证法一 (用区间套定理); 证法二 (用致密性定理)。
武夷学院经济与数学系 《数学分析》 授课教案
