染雾直接证明 综合法 篇一
综合法是一种常见的证明方法，在数学、逻辑学等领域中被广泛应用。它通过综合多种已知信息，推导出一个最终结论，从而完成整个证明过程。本文将通过一个具体的例子来介绍综合法的基本思路和步骤。
假设我们要证明一个命题：对于任意的正整数n，如果n是一个完全平方数，则n+2不是一个完全平方数。
首先，我们从已知信息入手。已知n是一个完全平方数，即存在一个正整数m，使得m^2=n。根据这个已知条件，我们可以得到m^2+2=(m+√2)(m-√2)=n+2。由于√2是一个无理数，所以m+√2和m-√2是两个不同的无理数，它们的乘积也是一个无理数。因此，n+2不可能是一个完全平方数。
接下来，我们需要考虑反证法。假设n+2是一个完全平方数，即存在一个正整数k，使得k^2=n+2。那么，k^2-2=n。这表明k^2-2是一个完全平方数。我们知道，完全平方数之间的差值不可能是2，因此得出矛盾。所以，假设不成立，n+2不可能是一个完全平方数。
综合以上两个步骤，我们可以得出结论：对于任意的正整数n，如果n是一个完全平方数，则n+2不是一个完全平方数。这个结论通过综合已知信息和反证法的方式进行了证明，充分体现了综合法的思路和方法。
通过这个例子，我们可以看到综合法在证明过程中的重要作用。它通过整合已知信息，运用逻辑推理和反证法等思维方式，帮助我们得出正确的结论。在实际应用中，我们可以灵活运用综合法，结合具体问题的特点，找到最适合的证明方法，提高证明的效率和准确性。
直接证明 综合法 篇二
综合法是一种常见的证明方法，它可以通过整合和综合各种已知信息，推导出一个最终结论。本文将通过一个数学问题来介绍综合法的基本思路和应用。
假设我们要证明一个命题：对于任意的正整数n，如果n是一个奇数，则n^2也是一个奇数。
首先，我们从已知信息入手。已知n是一个奇数，即n=2k+1，其中k是一个整数。我们可以将n^2展开，得到n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1。由于2k^2+2k是一个整数，所以2(2k^2+2k)也是一个偶数，再加上1，得到n^2=2(2k^2+2k)+1。根据奇数的定义，n^2也是一个奇数。
接下来，我们需要考虑反证法。假设n^2是一个偶数，即存在一个整数m，使得n^2=2m。那么，n^2的平方根可以表示为n=√(2m)。我们知道，如果一个数是一个整数的平方根，那么它必须是一个整数。但是，√(2m)是一个无理数，所以假设不成立，n^2不可能是一个偶数。
综合以上两个步骤，我们可以得出结论：对于任意的正整数n，如果n是一个奇数，则n^2也是一个奇数。这个结论通过综合已知信息和反证法的方式进行了证明，充分体现了综合法的思路和方法。
通过这个例子，我们可以看到综合法在证明过程中的重要作用。它通过整合已知信息，运用逻辑推理和反证法等思维方式，帮助我们得出正确的结论。在实际应用中，我们可以灵活运用综合法，结合具体问题的特点，找到最适合的证明方法，提高证明的效率和准确性。
直接证明 综合法 篇三
直接证明 综合法
数学方法之综合与分析法篇
一、使用综合法
综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论. 可以看出，若使用综合法求解问题，一定要将条件与结论结合起来，看看条件、再看看结论，如何架好从条件通往结论的桥梁?
例1：设 ，求证： 证明：由于a，b为非负实数时， ，得 .
那么 上述第一个不等式中等号成立的条件为2x-3=15-3x，解得 故原不等式成立.
点评：本题的证明不重要，产生这个证明方法的思维过程很重要;你知道怎么产生的吗?是综合法的“功劳”，请看：欲从左边证到右边，必须消去x;如何消?只有经过平方，才能将x从根号中“解救”出来，“解救”出来后才有消去的可能;于是在基本不等式中开始“搜索”与平方有关的不等式，慢慢的 就“浮出水面”， 解法自然也就诞生了.
二、使用分析法
分析法是从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等，可以看出，若使用分析求解问题，对结论的简化与转化很重要，它是向条件靠拢的重要措施.
例2：设a，b，c为任意三角形的三边边长，I=a+b+c，S=ab+bc+ca，求证：3S≤I 2<4S.
证明：由于I 2 = (a+b+c)2= a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca = a2+b2+c2+2S,
故欲证3S≤I 2<4S，只需3S≤a 2+b2+c2+2S<4S， 只需证S≤a 2+b2+c2<2S，
即ab+bc+ca≤ a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，
只需证a 2+b2+c2≥ab+bc+ca且a 2+b2+c2<2ab+2bc
先看a 2+b2+c2≥ab+bc+ca，只需证2a 2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，
即 ，显然，此式成立.
再看a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca， 只需证 ，
只需证 ;
只需证 为三角形的'三边长. 显然，结论成立
故3S≤I 2<4S.
点评：本题从表面上看不易“征服”，但通过分析法将结论逐步转化，由看上去很难“接受”的3S≤I 2<4S，转化为较为熟悉的ab+bc+ca≤ a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，显然，这比原题的结论看上去要“舒服”多了，当然，求解也就顺畅了很多.
三、综合与分析法同时使用
例3：试证：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边。并且方向相同，那么这两个角相等.
已知：如右图，∠BAC∥∠B′A′C′中，
AB∥A′B′且AC∥A′C′，且两角的方向相同，
求证：∠BAC=∠B′A′C′.
分析：(1)∠BAC与B ′A′C′不可能用
平行线的性质，只有考虑构造两个全等的三角
形，再设法证明两三角形全等，为此，分别在
AC，AB，A′C′，A′B′上截取AE =A′E′，
AD =A′D′，连结DE，D′E′，得到△ADE，
△A′D′E′;
(2)欲证这两三角形全等，只需证DE=D′E′;
(3)只需证DEE′D′是平行四边形，也就是DD′
平行且等于EE′;
(4)只需证“DD′平行且等于AA′且EE′平行且
等于AA′”;
(5)只需证ADD′A′与AEE′A′均为平行四边形，显然这是一个成立的结论.
证明：由于ADD′A′是平行四边形，则DD′平行且等于AA′; 同理，得
EE′平行且等于AA′.
于是DD′平行且等于EE′，那么DEE′D′是平行四边形，得DE=D′E′.
在△ADE与△A′D′E′中，由于AE =A′E′，AD =A′D′且DE =D′E′，因此，△ADE全等于△A′D′E′，从而∠BAC =∠B′A′C′.
点评：分析法找思路较为自然，容易产生解题思路与方法，但由于是“逆行”往往叙述较为复杂;而综合法产生的解法往往又显得很突然，一时不知此法由何而来. 于是，二者结合，互相弥补便成了大家提倡的，即“用分析法找思路，用综合法写过程”是十分行之有效的方法.
